1987年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)

(1)當(dāng)=_____________時(shí),函數(shù)取得極小值.

(2)由曲線與兩直線及所圍成的平面圖形的面積是_____________.

(3)與兩直線  

及都平行且過原點(diǎn)的平面方程為_____________.

         

(4)設(shè)為取正向的圓周則曲線積分= _____________.

(5)已知三維向量空間的基底為則向量在此基底下的坐標(biāo)是_____________.

二、(本題滿分8分)

求正的常數(shù)與使等式成立.

三、(本題滿分7分)

(1)設(shè)、為連續(xù)可微函數(shù)求

(2)設(shè)矩陣和滿足關(guān)系式其中求矩陣

四、(本題滿分8分)

求微分方程的通解,其中常數(shù)

五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設(shè)則在處

(A)的導(dǎo)數(shù)存在,且         (B)取得極大值  

(C)取得極小值                 (D)的導(dǎo)數(shù)不存在

(2)設(shè)為已知連續(xù)函數(shù)其中則的值

(A)依賴于和                    (B)依賴于、和

(C)依賴于、,不依賴于           (D)依賴于,不依賴于

(3)設(shè)常數(shù)則級數(shù)

(A)發(fā)散                          (B)絕對收斂         

(C)條件收斂                      (D)散斂性與的取值有關(guān)

(4)設(shè)為階方陣，且的行列式而是的伴隨矩陣，則等于

(A)                        (B)

(C)                         (D) 

六、（本題滿分10分）

求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù).

七、（本題滿分10分）

求曲面積分

其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,其法向量與軸正向的夾角恒大于 

八、（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微,對于上的每一個函數(shù)的值都在開區(qū)間內(nèi),且1,證明在內(nèi)有且僅有一個使得

九、（本題滿分8分）

問為何值時(shí),現(xiàn)線性方程組

有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時(shí)的通解.

十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為現(xiàn)進(jìn)行次獨(dú)立試驗(yàn),則至少發(fā)生一次的概率為____________;而事件至多發(fā)生一次的概率為____________.

(2)有兩個箱子,第1個箱子有3個白球,2個紅球, 第2個箱子有4個白球,4個紅球.現(xiàn)從第1個箱子中隨機(jī)地取1個球放到第2個箱子里,再從第2個箱子中取出1個球,此球是白球的概率為____________.已知上述從第2個箱子中取出的球是白球,則從第一個箱子中取出的球是白球的概率為____________.

(3)已知連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望為____________,的方差為____________.

十一、（本題滿分6分）

設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,其概率密度函數(shù)分別為

    ,  ,   求的概率密度函數(shù).