2022年西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院同等學(xué)力加試科目《微分幾何》考試大綱及參考書目 正文

一、考核要求
理解曲線論和曲面中的一些基本概念，準(zhǔn)確掌握研究微分幾何的常用方法和基本結(jié)論。能夠以此為基礎(chǔ)研究現(xiàn)代微分幾何學(xué)，能夠理論聯(lián)系實(shí)際、分析和解決實(shí)際幾何問題。
二、考核要點(diǎn)
第一章考核曲線論的基本概念、基本公式和基本方法；第二章考核正則參數(shù)曲面的概念，曲面的第一、二基本形式，曲面的各種曲率、曲面上的各種方向和對(duì)應(yīng)曲線，特殊曲面的幾何意義和幾何特征；第三章考核等距對(duì)應(yīng)和共形對(duì)應(yīng)的基本概念，測(cè)地曲率的計(jì)算，測(cè)地線方程和基本性質(zhì)，Gauss-Bonnet公式及重要結(jié)論，特殊曲面，理解測(cè)地曲率和測(cè)地線是內(nèi)蘊(yùn)幾何概念，了解協(xié)變微分。
三、考核內(nèi)容
第一章曲線論
第一節(jié)曲線的概念
第二節(jié)Frenet標(biāo)架
第三節(jié)空間曲線的曲率和撓率
第四節(jié)曲線輪的基本定理
第五節(jié)密切曲面
第六節(jié)特殊曲線

說明：掌握曲線的概念，空間曲線的基本三棱形，曲率撓率和Frenet公式。掌握特殊曲線：平面曲線，一般螺線。掌握曲線上一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)和空間曲線論的基本定理。
第二章曲面論
第一節(jié)正則曲面的概念
第二節(jié)曲面的第一基本形式
第三節(jié)曲面的第二基本形式
第四節(jié)法曲率與Weingarten變換
第五節(jié)主曲率、Gauss曲率和平均曲率
第六節(jié)漸近方向與漸近線、主方向與曲率線
第七節(jié)特殊曲面
第八節(jié)曲面論的基本定理
說明：掌握正則參數(shù)曲面的概念，掌握并能熟練計(jì)算曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、各種曲率，理解曲面上的特殊方向（指漸近方向和主方向）和特殊曲線（指漸近線和曲率線）的幾何意義。掌握可展曲面的幾何意義和幾何特征，懂得Gauss曲率是內(nèi)蘊(yùn)量，理解曲面論的基本定理。

第三章 曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何
第一節(jié)等距對(duì)應(yīng)與共形對(duì)應(yīng)
第二節(jié)測(cè)地曲率與測(cè)地線
第三節(jié)Gauss-Bonnet公式
第四節(jié)協(xié)變微分
第五節(jié)常高斯曲率的曲面
說明：理解等距對(duì)應(yīng)的意義。熟練掌握測(cè)地曲率的計(jì)算，掌握測(cè)地線的方程和基本性質(zhì)。熟記Gauss-Bonnet公式及幾個(gè)重要推論。了解協(xié)變微分是歐氏平面上普通導(dǎo)數(shù)概念在曲面上的推廣。理解測(cè)地曲率和測(cè)地線是內(nèi)蘊(yùn)幾何概念。掌握常高斯曲率曲面。

四、參考書目
1. 陳維桓編著，《微分幾何》，北京大學(xué)出版社，2006年.
2. 蘇步青，胡和生等，《微分幾何》，高等教育出版社，1994年.
3. 梅向明,黃敬之編,《微分幾何》（第四版），高等教育出版社，2008年.

西北師范大學(xué)

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