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非線性分析室的研究工作目前主要有以下幾個(gè)方面：應(yīng)用科學(xué)中的非線性偏微分方程，動(dòng)力系統(tǒng)及其幾何算法，非線性常微分方程理論及其在生命科學(xué)中的應(yīng)用，常微分方程數(shù)值分析，現(xiàn)分別介紹如下：

• 應(yīng)用科學(xué)中的非線性偏微分方程
• 近年來，肖玲研究員和她的研究小組，主要研究應(yīng)用科學(xué)(如流體力學(xué)、等離子物理、半導(dǎo)體物理、氣態(tài)星體物理等)中提出的非線性偏微分方程組，如 Euler 方程，Euler-Poisson 方程， Navier-Stokes 方程，Navier-Stokes-Poisson 程及其他典型非線性耦合偏微組，建立整體解的定性理論并研究與之相關(guān)的各類極限問題。不僅在一維空間變量的 Euler 方程、Euler-Poisson 方程和 Navier-Stokes 方程等方面有一系列在國際上有影響的工作，而且對高維空間變量上述方程組的研究已有很好開端。自1995年以來共發(fā)表和接受發(fā)表科研論文近50篇，及一本英文專著。絕大多數(shù)論文被SCI檢索，很多論文受到國內(nèi)外同行重視、被廣泛引用(僅2000年SCI上非自引的次數(shù)就有36次)。由于研究工作受到國際同行重視，近年來畢業(yè)的4位博士生均有很多機(jī)會(huì)到歐美訪問，與國外同行開展合作研究。目前在讀的尚有三位博士生。此外，近年來還培養(yǎng)了四位博士后，已經(jīng)出站的三位均在各自的科研工作中有非常優(yōu)異的表現(xiàn)。
• 動(dòng)力系統(tǒng)及其幾何算法
• 動(dòng)力系統(tǒng)及其幾何算法主要研究哈密爾頓系統(tǒng)、可逆系統(tǒng)和保體積系統(tǒng)等具有明顯幾何結(jié)構(gòu)和重要力學(xué)、物理背景的常微動(dòng)力系統(tǒng)。尚在久等研究人員重點(diǎn)研究可積系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為在小的保結(jié)構(gòu)擾動(dòng)下的保持和破壞問題。研究上述系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)離散化(包括哈密爾頓系統(tǒng)的辛幾何算法、無源系統(tǒng)的保體積算法和可逆系統(tǒng)的對稱算法等）及其動(dòng)力學(xué)以及到具體的科學(xué)和工程計(jì)算中的應(yīng)用。已經(jīng)取得的成果包括：Moser小扭轉(zhuǎn)定理到高維辛映射情形的推廣，辛算法的KAM型定理，保體積系統(tǒng)的生成函數(shù)理論，無源系統(tǒng)的保體積算法等。其中關(guān)于保體積算法和辛算法KAM理論方面的結(jié)果被新近出版的專著"E.Hairer, C. Lubich, G. Wanner, Geometric Numerical Integration --- Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, Springer Series in Computational Mathematics 31, 2002"作為重要結(jié)果加以引用。是1997年度國家自然科學(xué)一等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)項(xiàng)目"哈密爾頓系統(tǒng)的辛幾何算法"的主要參加者之一。目前在讀碩士生一名。
• 非線性常微分方程理論及其在生命科學(xué)中的應(yīng)用
• 應(yīng)用非線性微分方程定性理論、穩(wěn)定性理論、分歧理論以及泛函分析的度理論、凸算子理論研究了具有種群遷移的非自治種群模型的漸近性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)種群遷移對種群生存影響的許多可能現(xiàn)象。陳蘭蓀等研究人員這方面的工作填補(bǔ)了國內(nèi)外這項(xiàng)研究的空白，得到了國內(nèi)外同行的重視。他們這幾年的研究建立了這方面系統(tǒng)的理論與研究方法，在國內(nèi)外雜志發(fā)表論文70余篇(1995-2001)。其中被SCI檢索25篇，被EI檢索5篇。在數(shù)學(xué)方法上的研究涉及常微分方程，差分方程，時(shí)滯微分方程，泛函微分方程以及脈沖微分方程。特別是近期在脈沖微分方程方面的工作，發(fā)現(xiàn)生命系統(tǒng)的脈沖行為對生命現(xiàn)象引起了許多與連續(xù)系統(tǒng)有所不同的復(fù)雜性。從1998年開始每年招收博士生2人，已畢業(yè)研究生5人(其中博士生4人，碩士生1人)，在學(xué)博士生6人。
• 常微分方程數(shù)值分析
• 常微分方程 (ODEs) 數(shù)值分析，80年代初馮康先生從生成函數(shù)出發(fā)提出 Hamilton 系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法-辛算法的研究，80年代后期得到 ODEs 數(shù)值分析工作者的響應(yīng)，并且很快成為ODEs數(shù)值分析領(lǐng)域非常重要和活躍的一部分。90年代后期，它已經(jīng)被拓展到偏微分方程(PDEs)Hamilton 系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法-多辛算法的研究，并且使偏微分方程數(shù)值分析研究進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)代-從此開始了微分方程數(shù)值解的保結(jié)構(gòu)算法研究。
• 當(dāng)前 ODEs 數(shù)值分析非常活躍的另一領(lǐng)域是延遲 ODEs 的數(shù)值分析研究，多種數(shù)值分析雜志上發(fā)表這方面的文章很多，我國學(xué)者在國際上也享有一定的地位。孫耿研究員在91年開始進(jìn)入 Hamilton 系統(tǒng)辛方法研究。他在該領(lǐng)域共發(fā)表論文八篇(91年-95年發(fā)表論文四篇，95年-2001年四篇)。其中有三篇(95年以前兩篇，95年后一篇)被世界上有重要影響的三部專著所引用。近期，同尚在久教授合作，證明了馮康先生(84年)對波動(dòng)方程所導(dǎo)出的五類格式就是當(dāng)今討論的多辛格式。
• 1998年，孫耿研究員首次提出對具有小擾動(dòng)延遲ODEs的數(shù)值分析研究，同所指導(dǎo)的博士生合作完成了六篇論文，已發(fā)表四篇，已被接受即將發(fā)表兩篇。
• 1998年-2001年培養(yǎng)博士生一名，現(xiàn)在清華大學(xué)讀博士后?，F(xiàn)有在讀博士生(同李文林合作)一名；現(xiàn)有在讀(聯(lián)合培養(yǎng))碩士生一名。