2021中國(guó)科學(xué)院大學(xué)高等數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生考試大綱 正文

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試
高等數(shù)學(xué)（甲）考試大綱
 
考 試 性 質(zhì)
中國(guó)科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)高等數(shù)學(xué)（甲）考試是為招收理學(xué)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)碩士研究生而設(shè)置的選拔考試。它的主要目的是測(cè)試考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，包括對(duì)高等數(shù)學(xué)各項(xiàng)內(nèi)容的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力?？荚噷?duì)象為參加全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試、并報(bào)考理論物理、原子與分子物理、粒子物理與原子核物理、等離子體物理、凝聚態(tài)物理、天體物理、天體測(cè)量與天體力學(xué)、空間物理學(xué)、光學(xué)、物理電子學(xué)、微電子與固體電子學(xué)、電磁場(chǎng)與微波技術(shù)、物理海洋學(xué)、海洋地質(zhì)、氣候?qū)W等專(zhuān)業(yè)的考生。
考試的基本要求
要求考生系統(tǒng)地理解高等數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論，掌握高等數(shù)學(xué)的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
考試方法和考試時(shí)間
高等數(shù)學(xué)（甲）考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。
四、考試內(nèi)容和考試要求
（一）函數(shù)、極限、連續(xù)
考試內(nèi)容
函數(shù)的概念及表示法  函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性  復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)  基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形
數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念  無(wú)窮小和無(wú)窮大的概念及其關(guān)系  無(wú)窮小的性質(zhì)及無(wú)窮小的比較  極限的四則運(yùn)算  極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則  兩個(gè)重要極限：
， 
函數(shù)連續(xù)的概念  函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型  初等函數(shù)的連續(xù)性  閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)  函數(shù)的一致連續(xù)性概念
考試要求
1. 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。
2. 理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。掌握判斷函數(shù)這些性質(zhì)的方法。
3. 理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。會(huì)求給定函數(shù)的復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)。
4. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。
5. 理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。
6. 掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則，會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行一些基本的判斷和計(jì)算。
7. 掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限。掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。
8. 理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。
9. 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型。
10. 掌握連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。
11．理解函數(shù)一致連續(xù)性的概念。
（二）一元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)的概念  導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義  函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系  平面曲線的切線和法線  基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)  導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算  復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法  參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法  高階導(dǎo)數(shù)的概念  高階導(dǎo)數(shù)的求法  微分的概念和微分的幾何意義  函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系  微分的運(yùn)算法則及函數(shù)微分的求法  一階微分形式的不變性  微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用  微分中值定理  洛必達(dá)（L’Hospital）法則  泰勒(Taylor)公式  函數(shù)的極值  函數(shù)最大值和最小值  函數(shù)單調(diào)性  函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線  函數(shù)圖形的描繪  弧微分及曲率的計(jì)算
考試要求
1. 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，掌握函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。
2. 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。
3. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。
4. 會(huì)求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。
5. 會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)
6. 會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
7. 理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。
8. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。
9. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。
10. 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。
11.了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。
（三）一元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容
原函數(shù)和不定積分的概念  不定積分的基本性質(zhì)  基本積分公式  定積分的概念和基本性質(zhì)  定積分中值定理  變上限定積分定義的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)  牛頓－萊布尼茨（Newton－Leibniz）公式  不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法  有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分  廣義積分（無(wú)窮限積分、瑕積分）  定積分的應(yīng)用
 
考試要求
1. 理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。
2. 熟練掌握不定積分的基本公式，熟練掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理。掌握牛頓－萊布尼茨公式。熟練掌握不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。
3. 會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。
4. 理解變上限定積分定義的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)。
5. 理解廣義積分（無(wú)窮限積分、瑕積分）的概念，掌握無(wú)窮限積分、瑕積分的收斂性判別法，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的廣義積分。
6. 掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力）及函數(shù)的平均值。
（四）向量代數(shù)和空間解析幾何
考試內(nèi)容
向量的概念  向量的線性運(yùn)算  向量的數(shù)量積、向量積和混合積  兩向量垂直、平行的條件  兩向量的夾角  向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算  單位向量  方向數(shù)與方向余弦  曲面方程和空間曲線方程的概念  平面方程、直線方程  平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件  點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離  球面  母線平行于坐標(biāo)軸的柱面  旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程  常用的二次曲面方程及其圖形  空間曲線的參數(shù)方程和一般方程  空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程
考試要求
1. 熟悉空間直角坐標(biāo)系，理解向量及其模的概念。
2. 熟練掌握向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積)，掌握兩向量垂直、平行的條件。
3. 理解向量在軸上的投影，了解投影定理及投影的運(yùn)算。理解方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量的運(yùn)算。
4. 熟悉平面方程和空間直線方程的各種形式，熟練掌握平面方程和空間直線方程的求法。
5. 會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。
6. 會(huì)求空間兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離以及點(diǎn)到平面的距離。
7. 了解空間曲線方程和曲面方程的概念。
8. 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。
9. 了解常用二次曲面的方程、圖形及其截痕，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。
（五）多元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容
多元函數(shù)的概念  二元函數(shù)的幾何意義  二元函數(shù)的極限和連續(xù)  有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)  多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念及求法  全微分存在的必要條件和充分條件  多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法  高階偏導(dǎo)數(shù)的求法  空間曲線的切線和法平面  曲面的切平面和法線  方向?qū)?shù)和梯度  二元函數(shù)的泰勒公式  多元函數(shù)的極值和條件極值  拉格朗日乘數(shù)法  多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用  全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用
 
考試要求
1. 理解多元函數(shù)的概念、理解二元函數(shù)的幾何意義。
2. 理解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及基本運(yùn)算性質(zhì)，了解二元函數(shù)累次極限和極限的關(guān)系 會(huì)判斷二元函數(shù)在已知點(diǎn)處極限的存在性和連續(xù)性 了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
3. 理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念 了解二元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在及連續(xù)的關(guān)系，會(huì)求偏導(dǎo)數(shù)和全微分，了解二元函數(shù)兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件 了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。
4. 熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。
5. 熟練掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。
6. 理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。
7. 理解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。
8. 了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。
9. 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值、最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。
10. 了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用
（六）多元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容
二重積分、三重積分的概念及性質(zhì)  二重積分與三重積分的計(jì)算和應(yīng)用  兩類(lèi)曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算  兩類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系  格林（Green）公式  平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件  已知全微分求原函數(shù)  兩類(lèi)曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算  兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系  高斯（Gauss）公式  斯托克斯（Stokes）公式  散度、旋度的概念及計(jì)算  曲線積分和曲面積分的應(yīng)用
考試要求
1. 理解二重積分、三重積分的概念，掌握重積分的性質(zhì)。
2. 熟練掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)），掌握二重積分的換元法。
3. 理解兩類(lèi)曲線積分的概念，了解兩類(lèi)曲線積分的性質(zhì)及兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系。熟練掌握計(jì)算兩類(lèi)曲線積分的方法。
4. 熟練掌握格林公式，會(huì)利用它求曲線積分。掌握平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。會(huì)求全微分的原函數(shù)。
5. 理解兩類(lèi)曲面積分的概念，了解兩類(lèi)曲面積分的性質(zhì)及兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系。熟練掌握計(jì)算兩類(lèi)曲面積分的方法。
6. 掌握高斯公式和斯托克斯公式，會(huì)利用它們計(jì)算曲面積分和曲線積分。
7. 了解散度、旋度的概念，并會(huì)計(jì)算。
8. 了解含參變量的積分和萊布尼茨公式。
9. 會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、曲面的面積、物體的體積、曲線的弧長(zhǎng)、物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）。
（七）無(wú)窮級(jí)數(shù)
考試內(nèi)容
常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念  收斂級(jí)數(shù)的和的概念  級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件  幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性  正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法  交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理  任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂  函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念  冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開(kāi)區(qū)間）和收斂域  冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)  簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法  泰勒級(jí)數(shù)  初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式  函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式在近似計(jì)算中的應(yīng)用  函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)  狄利克雷（Dirichlet）定理  函數(shù)在[-l，l]上的傅里葉級(jí)數(shù)  函數(shù)在[0，l]上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。
考試要求
1. 理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件
2. 掌握幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散情況。
3. 熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的各種判別法。
4. 熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。
5. 理解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。
6. 了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。
7. 理解冪級(jí)數(shù)的收斂域、收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域的求法。
8. 了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。
9. 了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。
10. 掌握一些常見(jiàn)函數(shù)如e^x、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)^α等的麥克勞林展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。
11. 會(huì)利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式進(jìn)行近似計(jì)算。
12.了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷定理，會(huì)將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0，l]上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)將周期為2l的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。
13. 了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，會(huì)判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。
（八）常微分方程
考試內(nèi)容
常微分方程的基本概念  變量可分離的微分方程  齊次微分方程  一階線性微分方程  伯努利（Bernoulli）方程  全微分方程  可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程  可降價(jià)的高階微分方程  線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理  二階常系數(shù)齊次線性微分方程  二階常系數(shù)非齊次線性微分方程  高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程  歐拉（Euler）方程  微分方程的冪級(jí)數(shù)解法  簡(jiǎn)單的常系數(shù)線性微分方程組的解法  微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用
考試要求
1. 掌握微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。
2. 熟練掌握變量可分離的微分方程的解法，熟練掌握解一階線性微分方程的常數(shù)變易法。
3. 會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換求解某些微分方程。
4. 會(huì)用降階法解下列方程：y⁽ⁿ⁾ =f(x)，y″ =f(x，y′ )和y″ =f(y，y′ )
5. 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。了解解二階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法。
6. 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。
7. 會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。
8. 會(huì)解歐拉方程。
9. 了解微分方程的冪級(jí)數(shù)解法。
10.了解簡(jiǎn)單的常系數(shù)線性微分方程組的解法。
11 會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。
五、主要參考文獻(xiàn)
《高等數(shù)學(xué)》（上、下冊(cè)），同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一個(gè)版本均可。
 
 
 
編制單位：中國(guó)科學(xué)院大學(xué)
編制日期：2019年6月26日
 
 
 

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