2021中國(guó)科學(xué)院大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)研究生考試大綱 正文

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試
《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》考試大綱
本《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》考試大綱適用于中國(guó)科學(xué)院大學(xué)非數(shù)學(xué)類(lèi)的碩士研究生入學(xué)考試。概率統(tǒng)計(jì)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，在物理、化學(xué)、生物、計(jì)算機(jī)科學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。考試的主要內(nèi)容有以下幾個(gè)部分：
概率統(tǒng)計(jì)中的基本概念
隨機(jī)變量及其分布
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征及特征函數(shù)
獨(dú)立隨機(jī)變量和的中心極限定理及大數(shù)定律
假設(shè)檢驗(yàn)
點(diǎn)估計(jì)及區(qū)間估計(jì)
簡(jiǎn)單線性回歸模型
 
要求考生對(duì)基本概念有深入的理解，能計(jì)算一些常見(jiàn)分布的期望、方差，了解假設(shè)檢驗(yàn)、點(diǎn)估計(jì)及區(qū)間估計(jì)的統(tǒng)計(jì)意義，能解決一些經(jīng)典模型的檢驗(yàn)問(wèn)題、區(qū)間估計(jì)及點(diǎn)估計(jì)。最后，能理解大數(shù)定律及中心極限定理。
 
一、 考試內(nèi)容
（一） 基本概念
1． 樣本、樣本觀測(cè)值
2． 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的直觀描述方法：如干葉法、直方圖
3． 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字描述：樣本均值、樣本方差、中位數(shù)事件的獨(dú)立性、樣本空間、事件
4． 概率、條件概率、Bayes公式
5． 古典概型
（二） 離散隨機(jī)變量
1． 離散隨機(jī)變量的定義
2． 經(jīng)典的離散隨機(jī)變量的分布
a. 二項(xiàng)分布
b. 幾何分布
c. 泊松分布
d. 超幾何分布
3． 離散隨機(jī)變量的期望、公差
4． 離散隨機(jī)變量的特征函數(shù)
5． 離散隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念
6． 二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、條件分布、邊緣分布及二個(gè)離散隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)
（三） 連續(xù)隨機(jī)變量
1． 連續(xù)隨機(jī)變量的概念
2． 密度函數(shù)
3． 分布函數(shù)
4． 常見(jiàn)的連續(xù)分布
a. 正態(tài)分布
b. 指數(shù)分布
c. 均勻分布
d. t分布
e. c²分布
5． 連續(xù)隨機(jī)變量的期望、方差
6． 連續(xù)隨機(jī)變量獨(dú)立的定義
7． 二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度、條件密度、邊緣分布及二個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)
8． 連續(xù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)
（四） 獨(dú)立隨機(jī)變量和的中心極限定理和大數(shù)定律
1． 依概率收斂
2． 以概率1收斂（或幾乎處處收斂）
3． 依分布收斂
4． 伯努利大數(shù)定律
5． 利莫弗-拉普拉斯中心極限定理
6． 辛欽大數(shù)定律
7． 萊維-林德伯格中心極限定理
（五） 點(diǎn)估計(jì)
1． 無(wú)偏估計(jì)，克拉美-勞不等式
2． 矩估計(jì)
3． 極大似然估計(jì)
（六） 區(qū)間估計(jì)
1． 置信區(qū)間的概念
2． 一個(gè)正態(tài)總體的期望的置信區(qū)間
3． 大樣本區(qū)間估計(jì)
4． 兩個(gè)正態(tài)總體期望之差的置信區(qū)間（方差已知）
（七） 假設(shè)檢驗(yàn)
1． 檢驗(yàn)問(wèn)題的基本要素：第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率、第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率、檢驗(yàn)的功效、功效函數(shù)、檢驗(yàn)的拒絕域、原假設(shè)、備擇假設(shè)
2． 一個(gè)正態(tài)總體的期望的檢驗(yàn)問(wèn)題
3． 大樣本檢驗(yàn)
4． 基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）
5． 兩個(gè)正態(tài)總體期望之差的檢驗(yàn)
（八） 簡(jiǎn)單線性回歸模型
1． 簡(jiǎn)單線性回歸模型定義
2． 回歸線的斜率的最小二乘估計(jì)
3． 回歸線的截距的最小二乘估計(jì)
4． 隨機(jī)誤差（隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)差）的估計(jì)
二、 考試要求
（一） 基本概念
1． 理解樣本、樣本觀測(cè)值的概念
2． 了解并能運(yùn)用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的直觀描述方法如：干葉法、直方圖
3． 理解樣本均值、樣本方差及中位數(shù)的概念并能運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算
4． 掌握如下概念：概率、樣本空間、事件、事件的獨(dú)立性、條件概率，理解并能靈活運(yùn)用Bayes 公式
5． 理解古典概型的定義并能熟練解決這方面的問(wèn)題
（二） 離散隨機(jī)變量
1． 理解離散隨機(jī)變量的定義
2． 理解如下經(jīng)典離散分布所產(chǎn)生的模型
a. 二項(xiàng)分布
b. 幾何分布
c. 泊松分布
d. 超幾何分布
能熟練計(jì)算上述分布的期望、方差，能熟練應(yīng)用上述分布求出相應(yīng)事件的概率
3． 了解離散隨機(jī)變量的特征函數(shù)的定義和性質(zhì)
4． 了解兩個(gè)離散隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念
5． 理解二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、條件分布、邊緣分布及兩個(gè)離散隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)的概念并能熟練運(yùn)用相關(guān)的公式解決問(wèn)題
（三） 連續(xù)隨機(jī)變量
1． 理解連續(xù)隨機(jī)變量的概念
2． 理解密度與分布的概念及其關(guān)系
3． 熟悉如下常用連續(xù)分布
a. 正態(tài)分布
b. 指數(shù)分布
c. 均勻分布
d. t分布
e. c²分布
4． 了解連續(xù)分布的期望、方差的概念
5． 了解有限個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念
6． 理解二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度、條件密度、邊緣分布及二個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)并能運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算
7． 了解連續(xù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)的概念及性質(zhì)
（四） 獨(dú)立隨機(jī)變量和的中心極限定理和大數(shù)定律
1． 了解依概率收斂、以概率1收斂（或幾乎處處收斂）、依分布收斂的定義，了解上述收斂性的關(guān)系
2． 理解并掌握伯努利大數(shù)定律和利莫弗-拉普拉斯中心極限定理
3． 了解辛欽大數(shù)定律、萊維-林德伯格中心極限定理
（五） 點(diǎn)估計(jì)
1． 理解無(wú)偏估計(jì)、矩估計(jì)、極大似然估計(jì)
2． 能夠計(jì)算參數(shù)的矩估計(jì)、極大似然估計(jì)
（六） 區(qū)間估計(jì)
1． 理解置信區(qū)間的概念
2． 能夠計(jì)算正態(tài)總體的期望的置信區(qū)間（包括方差已知、方差未知兩種情況）
3． 在樣本容量充分大的條件下，能夠計(jì)算近似置信區(qū)間
4． 能夠計(jì)算兩個(gè)正態(tài)總體的期望之差的置信區(qū)間（方差已知）
（七） 假設(shè)檢驗(yàn)
1． 理解以下概念：第一、二類(lèi)錯(cuò)誤的概率、檢驗(yàn)的功效、功效函數(shù)、檢驗(yàn)的拒絕域、檢驗(yàn)的原假設(shè)、備擇假設(shè)
2． 能給出一個(gè)正態(tài)總體的期望的檢驗(yàn)的拒絕域（包括方差已知、方差未知）
3． 能用大樣本方法求拒絕域
4． 能給出基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域
（八） 簡(jiǎn)單線性回歸模型
1． 理解簡(jiǎn)單線性回歸模型定義，能寫(xiě)出模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式
2． 能計(jì)算回歸線的斜率、截距的最小二乘估計(jì)
3． 了解隨機(jī)誤差（隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)差）的估計(jì)
 
三、 參考書(shū)
1． 陳希孺，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，科學(xué)出版社，中國(guó)科技大學(xué)出版社， 1999
2． 盛驟，謝式千，潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，高等教育出版社（第三版），2001
3． 劉光祖，概率論與應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)，高等教育出版社，2000
 
 
編制單位：中國(guó)科學(xué)院大學(xué)
編制日期：2019年6月26日
 
 

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)

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