2021中國科學(xué)院大學(xué)量子力學(xué)專業(yè)研究生考試大綱 正文

中國科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試
《量子力學(xué)》考試大綱 
 
本《量子力學(xué)》考試大綱適用于中國科學(xué)院大學(xué)物理學(xué)相關(guān)各專業(yè)（包括理論與實(shí)驗(yàn)類）碩士研究生的入學(xué)考試。本科目考試的重點(diǎn)是要求熟練掌握波函數(shù)的物理解釋，薛定諤方程的建立、基本性質(zhì)和精確的以及一些重要的近似求解方法，理解這些解的物理意義，熟悉其實(shí)際的應(yīng)用。掌握量子力學(xué)中一些特殊的現(xiàn)象和問題的處理方法，包括力學(xué)量的算符表示、對(duì)易關(guān)系、不確定度關(guān)系、態(tài)和力學(xué)量的表象、電子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子躍遷及光的發(fā)射與吸收的半經(jīng)典處理方法等，并具有綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。
 
一． 考試內(nèi)容：
（一） 波函數(shù)和薛定諤方程
波粒二象性，量子現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)證實(shí)。波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋，薛定諤方程，連續(xù)性方程， 波包的演化。能量本征值方程，定態(tài)與非定態(tài)。態(tài)疊加原理，測(cè)量與波包的塌縮。
 
（二） 一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子
一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)，一維方勢(shì)阱的束縛態(tài)，方勢(shì)壘的穿透，方勢(shì)阱中的反射、透射與共振。 d-勢(shì)的穿透和d-勢(shì)阱中的束縛態(tài)，一維諧振子。
 
（三） 力學(xué)量用算符表示
各種算符的定義及算符的運(yùn)算規(guī)則。 厄米算符的本征值與本征函數(shù)。不確定關(guān)系，共同本征函數(shù)，對(duì)易力學(xué)量的完全集。箱歸一化，連續(xù)本征函數(shù)的歸一化。力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化，量子力學(xué)的守恒量。波包的運(yùn)動(dòng)，Ehrenfest 定理。薛定諤-圖像與海森伯-圖像。
 
（四） 中心力場(chǎng)和電磁場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)
兩體問題化為單體問題，球?qū)ΨQ勢(shì)和徑向方程，自由粒子和球形方勢(shì)阱，三維諧振子，氫原子及類氫離子。電磁場(chǎng)中的薛定諤方程，電磁場(chǎng)的規(guī)范不變性。正常Zeeman效應(yīng)，Landau能級(jí)。
 
（五） 量子力學(xué)的矩陣表示與表象變換
態(tài)和算符的矩陣表示，表象變換，狄拉克符號(hào)，一維諧振子的占有數(shù)表象。
 
（六） 自旋及角動(dòng)量的耦合
          電子自旋態(tài)與自旋算符，總角動(dòng)量的本征態(tài)，堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)與反常塞曼效應(yīng)，自旋單態(tài)與三重態(tài)，光譜線的精細(xì)和超精細(xì)結(jié)構(gòu)，自旋糾纏態(tài)。角動(dòng)量的本征值與本征態(tài)，兩個(gè)角動(dòng)量的耦合，耦合表象及無耦合表象基矢。
 
（七） 定態(tài)問題的近似方法
定態(tài)非簡并微擾輪，定態(tài)簡并微擾輪，變分法。
 
（八） 量子躍遷
量子態(tài)隨時(shí)間的演化，突發(fā)微擾與絕熱微擾， 周期微擾和有限時(shí)間內(nèi)的常微擾，光的吸收與輻射的半經(jīng)典理論。
 
（九） 多體問題
全同粒子系統(tǒng)，氦原子，氫分子。
 
二．考試要求：
（一）波函數(shù)和薛定諤方程
1．了解波粒二象性假設(shè)的物理意義及其主要實(shí)驗(yàn)事實(shí)。
2．熟練掌握波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件：有限性、連續(xù)性和單值性。深入理解波函數(shù)的概率解釋。
    3．理解態(tài)疊加原理以及任何波函數(shù)按不同動(dòng)量的平面波展開的方法及其物理意義。
    4．熟練掌握薛定諤方程的建立過程。深入了解定態(tài)薛定諤方程，定態(tài)與非定態(tài)波函數(shù)的意義及相互關(guān)系。了解連續(xù)性方程的推導(dǎo)及其物理意義。    
 
（二）一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子
    1．熟練掌握一維薛定諤方程邊界條件的確定和處理方法。
2．熟練掌握一維無限深方勢(shì)阱的求解方法及其物理討論，掌握一維有限深方勢(shì)阱束縛態(tài)問題的求解方法。
3．熟練掌握勢(shì)壘貫穿的求解方法及隧道效應(yīng)的解釋。掌握一維有限深方勢(shì)阱的反射、透射的處理方法及共振現(xiàn)象的發(fā)生。
4．熟練掌握一維諧振子的能譜及其定態(tài)波函數(shù)的一般特點(diǎn)及其應(yīng)用。
5．了解d--函數(shù)勢(shì)的處理方法。
 
（ 三）力學(xué)量用算符表示
1. 掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。
2．熟練掌握厄米算符的基本性質(zhì)及相關(guān)的定理。
3．熟練掌握坐標(biāo)算符、動(dòng)量算符以及角動(dòng)量算符，包括定義式、相關(guān)的對(duì)易關(guān)系及本征值和本征函數(shù)。
4．熟練掌握力學(xué)量取值的概率及平均值的計(jì)算方法。理解兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件和共同本征函數(shù)。
5．熟練掌握不確定度關(guān)系的形式、物理意義及其一些簡單的應(yīng)用。
6．理解力學(xué)量平均值隨時(shí)間變化的規(guī)律。掌握如何根據(jù)哈密頓算符來判斷該體系的守恒量。
 
（四）中心力場(chǎng)
1．熟練掌握兩體問題化為單體問題及分離變量法求解三維庫侖勢(shì)問題。
2．熟練掌握氫原子和類氫離子的能譜及基態(tài)波函數(shù)以及相關(guān)的物理量的計(jì)算。
3．了解球形無窮深方勢(shì)阱及三維各向同性諧振子的基本處理方法。
 
（五） 量子力學(xué)的矩陣表示與表象變換
1．理解力學(xué)量所對(duì)應(yīng)的算符在具體表象的矩陣表示。
2．了解表象之間幺正變換的意義和基本性質(zhì)。
3．掌握量子力學(xué)公式的矩陣形式及求解本征值、本征矢的矩陣方法。
4．了解狄拉克符號(hào)的意義及基本應(yīng)用。
5．熟練掌握一維簡諧振子的代數(shù)解法和占有數(shù)表象。
 
（六） 自旋
    1．了解斯特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)。電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率與軌道回轉(zhuǎn)磁比率。
    2．熟練掌握自旋算符的對(duì)易關(guān)系和自旋算符的矩陣形式(泡利矩陣)、與自旋相聯(lián)系的測(cè)量值、概率和平均值等的計(jì)算以及其本征值方程和本征矢的求解方法。
    3．了解電磁場(chǎng)中的薛定諤方程和簡單塞曼效應(yīng)的物理機(jī)制。
4．了解自旋-軌道藕合的概念、總角動(dòng)量本征態(tài)的求解及堿金屬原子光譜的精細(xì)和超精細(xì)結(jié)構(gòu)。
5. 熟練掌握自旋單態(tài)與三重態(tài)求解方法及物理意義，了解自旋糾纏態(tài)概念。
 
（七）定態(tài)問題的近似方法
1．了解定態(tài)微擾論的適用范圍和條件。
    2．掌握非簡并的定態(tài)微擾論中波函數(shù)一級(jí)修正和能級(jí)一級(jí)、二級(jí)修正的計(jì)算。
3．掌握簡并微擾論零級(jí)波函數(shù)的確定和一級(jí)能量修正的計(jì)算。
4．掌握變分法的基本應(yīng)用。
 
（八）量子躍遷
1．了解量子態(tài)隨時(shí)間演化的基本處理方法。掌握量子躍遷的基本概念。
2．了解突發(fā)微擾、絕熱微擾及周期微擾和有限時(shí)間內(nèi)的常微擾的躍遷概率計(jì)算方法。
3．了解光的吸收與輻射的半經(jīng)典理論，特別是選擇定則的定義及其作用。
4．了解氫原子一級(jí)斯塔克效應(yīng)及其解釋。
 
（九）多體問題
1．了解量子力學(xué)全同性原理及其對(duì)于多體系統(tǒng)波函數(shù)的限制。
2．了解費(fèi)米子和波色子的基本性質(zhì)和泡利原理。
3．了解氦原子及氫分子的基本近似求解方法以及解的物理討論。
 
三．主要參考書目： 
《量子力學(xué)教程 》 曾謹(jǐn)言著（科學(xué)出版社 2003年第1版）。
 
 
 
編制單位：中國科學(xué)院大學(xué)
編制日期：2019年6月26日
 

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