2022中國(guó)科學(xué)院大學(xué)高等代數(shù)碩士研究生考研考試大綱 正文

本《高等代數(shù)》考試大綱適用于中國(guó)科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)等學(xué)科各專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試。高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的最基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課。它的主要內(nèi)容包括多項(xiàng)式、行列式和線性方程組、矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)形、特征值和特征向量、線性變換和矩陣范數(shù)。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問題能力。
一、考試的基本要求
要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力。
二、考試方法和考試時(shí)間
高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時(shí)間為 180 分鐘。
三、考試內(nèi)容
（一） 多項(xiàng)式
1.一元多項(xiàng)式的因式、帶余除法公式及互素的概念及判別；
2.復(fù)根存在定理；
3.根與系數(shù)關(guān)系；
4.Sturm 定理。
（二） 行列式
1.行列式的置換、對(duì)換、置換奇偶性；
2.行列式的定義，基本性質(zhì)及計(jì)算；
3.Vandermonde 行列式；
4.行列式的代數(shù)余子式、Cramer 法則。
（三） 矩陣
1.矩陣基本運(yùn)算、分塊矩陣運(yùn)算；
2.初等矩陣、初等變換和矩陣的秩；
3.矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式；
4.行列式乘積定理；
5.矩陣和轉(zhuǎn)置、Hermite 共軛；
6.對(duì)角陣、三角陣、三對(duì)角陣；
7.矩陣的跡、方陣多項(xiàng)式；
8.廣義逆矩陣。
（四） 線性方程組求解

1.線性方程組有解的充分必要條件；
2.Gauss 消元法；
3.三角分解。
（五） 線性空間和線性變換；
1.向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)；
2.線性空間的定義及性質(zhì)；
3.向量組的秩、線性空間的基及坐標(biāo)；
4.線性變換的矩陣表示；
5.矩陣相似；
6.不變子空間；
7.子空間的直接和、維數(shù)公式；
8.線性空間的同構(gòu)。
（六） 特征值和特征向量
1.特征值和特征多項(xiàng)式；
2.特征向量、特征子空間、度數(shù)和重?cái)?shù)；
3.非虧損矩陣的完全特征向量系和譜分解；
4.特征值估計(jì)的圓盤定理；
5.三對(duì)角矩陣的特征值與 Sturm 定理。
（七） 內(nèi)積空間和等積變換
1.Euclid 空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，施密特（Schmidt）正交化；
2.Gram 行列式；
3.正交變換及其矩陣表示；
4.初等旋轉(zhuǎn)和鏡像變換；
5.QR 分解；
6.酉空間和酉變換；
7.正交相似變換和酉相似變換；
8.向量到子空間的距離、最小二乘。
（八） 二次型和對(duì)稱矩陣
1.二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、慣性定理；
2.實(shí)對(duì)稱矩陣正定的充分必要條件；
3.Rayleign 商；
4.極大－極小原理、極?。瓨O大原理；
5.正定矩陣的開方和Cholesky 分解；
6.Hermite 型和 Hermite 矩陣；
7.正規(guī)矩陣。
（九） Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形
1.向量的最小化零多項(xiàng)式；
2.線性變換及矩陣的最小多項(xiàng)式；
3.矩陣的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形及其唯一性；
4.初等因子和不變因子；
5.矩陣函數(shù)。
（十） 極限和范數(shù)
1.向量和矩陣的極限；
2.向量范數(shù)和范數(shù)等價(jià)定理；
3.相容范數(shù)和從屬范數(shù)；
4.矩陣依范數(shù)的收斂性。
四、掌握重點(diǎn)
（一） 行列式乘積定理及其應(yīng)用
（二） 分塊矩陣運(yùn)算及其應(yīng)用
（三） 矩陣三角分解及其應(yīng)用
（四） 矩陣的秩及其應(yīng)用
（五） 線性空間的概念及性質(zhì)
（六） 線性變換下的不變子空間及其矩陣表示
（七） 圓盤定理與特征值估計(jì)
（八） 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形
（九） 實(shí)對(duì)稱矩陣及其性質(zhì)
（十） 矩陣 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算及其應(yīng)用
（十一） 矩陣范數(shù)與矩陣收斂
五、主要參考書目
[1]北京大學(xué)編《高等代數(shù)》，高等教育出版社，1978 年 3 月第 1 版 ，2003 年 7 月第 3
版 ，2003 年 9 月第 2 次印刷.
[2]復(fù)旦大學(xué)蔣爾雄等編《線性代數(shù)》，人民教育出版社，1988.
[3]張禾瑞，郝鈵新，《高等代數(shù)》，高等教育出版社， 1997.

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