河南科技大學(xué)2021年碩士生招生考試初試

    自命題科目考試大綱

    學(xué)院名稱科目代碼科目名稱說(shuō)明

    數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院636數(shù)學(xué)分析

    說(shuō)明欄：各單位自命題考試科目如需帶計(jì)算器、繪圖工具等特殊要求的，請(qǐng)?jiān)谡f(shuō)明欄里加備注。

    河南科技大學(xué)碩士研究生招生考試

    《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

    考試科目代碼：636考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析

    一、考試基本要求及適用范圍概述

    《數(shù)學(xué)分析》考試大綱適用于“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)”、“計(jì)算數(shù)學(xué)”、“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”、“應(yīng)用數(shù)學(xué)”、“運(yùn)籌學(xué)與控制論”等專業(yè)的碩士研究生入學(xué)考試。本課程考試旨在考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)理論和基本知識(shí)掌握的程度，以及運(yùn)用所學(xué)理論和知識(shí)解決相關(guān)問題的能力。

    二、考試形式

    本課程考試形式為閉卷筆試，考試時(shí)間180分鐘，總分150分。

    三、考試內(nèi)容

    (一)實(shí)數(shù)集與函數(shù)

    1.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)、絕對(duì)值與不等式2.數(shù)集、確界原理3.函數(shù)的定義、表示法、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)4.具有某些特性的函數(shù)

    (二)數(shù)列極限

    1.數(shù)列極限概念2.收斂數(shù)列的性質(zhì)3.數(shù)列極限存在的條件

    (三)函數(shù)極限

    1.函數(shù)極限概念2.函數(shù)極限的性質(zhì)3.函數(shù)極限存在的條件4.兩個(gè)重要的極限5.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

    (四)函數(shù)連續(xù)性

    1.連續(xù)性概念2.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3.初等函數(shù)的連續(xù)性

    (五)導(dǎo)數(shù)和微分

    1.導(dǎo)數(shù)的概念2.求導(dǎo)法則3.參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4.高階導(dǎo)數(shù)5.微分

    (六)微分中值定理及其應(yīng)用

    1.拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性2.柯西中值定理和不定式極限3.泰勒公式4函數(shù)的極值與最大(小)值5.函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)

    (七)實(shí)數(shù)完備性

    1.關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性的基本定理2.上極限和下極限

    (八)不定積分

    1.不定積分概念與基本積分公式2.換元積分法與分部積分法3.有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分

    (九)定積分

    1.定積分概念2.牛頓-萊布尼茨公式3.可積條件4.定積分的性質(zhì)與計(jì)算

    (十)定積分的應(yīng)用

    1.平面圖形的面積2.由平行截面面積求體積3.平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率

    (十一)反常積分

    1.反常積分概念2.無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別3.瑕積分的性質(zhì)與收斂判別

    (十二)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

    1.級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì)2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法3.一般項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

    (十三)函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

    1.一致收斂性2.一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)

    (十四)冪級(jí)數(shù)

    1冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間、性質(zhì)及運(yùn)算2.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

    (十五)傅里葉級(jí)數(shù)

    1.以2π為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)2.以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)3.正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)

    (十六)多元函數(shù)的極限與連續(xù)

    1.二元函數(shù)的極限2.二元函數(shù)的連續(xù)性

    (十七)多元函數(shù)微分學(xué)

    1.可微性與全微分、偏導(dǎo)數(shù)、可微性條件2.復(fù)合函數(shù)微分法3.方向?qū)?shù)與梯度4.泰勒公式與極值問題

    (十八)隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

    1.隱函數(shù)定理2.隱函數(shù)求導(dǎo)3.幾何應(yīng)用4.條件極值

    (十九)含參量積分

    1.含參量正常積分2.含參量反常積分3.歐拉積分

    (二十)曲線積分

    1.第1型曲線積分的定義與計(jì)算2.第二型曲線積分的定義與計(jì)算3.兩類曲線積分的聯(lián)系

    (二一)重積分

    1.二重積分的概念2.直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算3.格林公式·曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性4.4二重積分的變量變換3.三重積分

    (二二)曲面積分

    1.第一型曲面積分的慨念與計(jì)算2.第二型曲面積分的慨念與計(jì)算3.兩類曲面積分的聯(lián)系4.高斯公式與斯托克斯公式

    四、考試要求

    （一）實(shí)數(shù)集與函數(shù)

    1．了解鄰域，上確界、下確界的概念和確界原理。

    2．掌握函數(shù)復(fù)合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及常用特性。（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）

    3．掌握基本初等不等式及應(yīng)用。

    （二）數(shù)列極限

    1．熟練掌握數(shù)列極限的ε-N定義。

    2．掌握收斂數(shù)列的常用性質(zhì)。

    3．熟練掌握數(shù)列收斂的判別條件（單調(diào)有界原理、迫斂性定理、Cauchy準(zhǔn)則、壓縮映射原理等）。

    4．能夠熟練求解各類數(shù)列的極限。

    （三）函數(shù)極限

    1．深刻領(lǐng)會(huì)函數(shù)極限的“ε-δ”定義及其它變式。

    2．熟練掌握函數(shù)極限存在的條件及判別。（歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限、單調(diào)有界等）

    3．熟練應(yīng)用兩個(gè)重要極限求解較復(fù)雜的函數(shù)極限。

    4．理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念；會(huì)應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小求極限；熟悉等價(jià)無(wú)窮小、同階無(wú)窮小、高階無(wú)窮小及其性質(zhì)。

    （四）函數(shù)連續(xù)性

    1．掌握函數(shù)在某點(diǎn)及在區(qū)間上連續(xù)的幾種等價(jià)定義，尤其是ε-δ定義。

    2．熟悉函數(shù)間斷點(diǎn)及類型。

    3．熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三大性質(zhì)及其應(yīng)用。

    4．熟練掌握區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的定義、判斷和應(yīng)用。

    5．知道初等函數(shù)的連續(xù)性。

    （五）導(dǎo)數(shù)和微分

    1．掌握導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義，領(lǐng)悟其思想內(nèi)涵；熟悉單邊導(dǎo)數(shù)概念及應(yīng)用。

    2．掌握求導(dǎo)四則運(yùn)算法則、熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

    3．熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。

    4．掌握參量函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。

    5．熟練掌握乘積函數(shù)求導(dǎo)的Leibniz公式。

    6．掌握微分的概念，領(lǐng)悟其思想內(nèi)涵；并會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算。

    7．熟練掌握復(fù)合函數(shù)微分及一階微分形式不變性。

    8．理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。

    9．熟練掌握高階導(dǎo)數(shù)的各種求解方法。

    （六）微分中值定理及其應(yīng)用

    1．熟練掌握微分中值定理及其應(yīng)用，會(huì)證明中值點(diǎn)的存在性問題。

    2．熟練運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限。

    3．熟練掌握單調(diào)區(qū)間、極值、最值的求法。

    4．熟練掌握Taylor公式思想、方法及應(yīng)用。

    5．掌握曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的求法，并掌握凸函數(shù)及性質(zhì)。

    6．熟練應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性、凹凸性等等工具證明函數(shù)不等式。

    （七）實(shí)數(shù)完備性

    1．了解區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點(diǎn)等概念的含義。

    2．掌握實(shí)數(shù)完備性各定理的具體內(nèi)容，領(lǐng)悟其證明的思想內(nèi)涵。

    3．掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界性、最值性、介值性、一致連續(xù)性定理的證明。

    4．理解上極限、下極限的概念和等價(jià)敘述。

    （八）不定積分

    1．知道原函數(shù)與不定積分的概念。

    2．熟練掌握換元法、分部積分法。

    3．會(huì)計(jì)算有理函數(shù)的積分。

    4．會(huì)計(jì)算三角函數(shù)有理式、某些簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分。

    （九）定積分

    1．深刻領(lǐng)會(huì)定積分的定義和性質(zhì)。

    2．深刻理解微積分基本定理，并會(huì)熟練應(yīng)用。

    3．熟練掌握換元法、分部積分法計(jì)算定積分。

    4．知道可積條件和可積類。

    （十）定積分的應(yīng)用

    1．熟練掌握平面圖形面積的計(jì)算。

    2．熟練掌握旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積。

    3．會(huì)利用定積分求孤長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。

    （十一）反常積分

    1．了解反常積分收斂性定義。

    2．熟練掌握反常積分?jǐn)可⑿耘袆e法（Cauchy、Abel、Dirichlet三大判別法），重點(diǎn)在無(wú)窮積分。

    （十二）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

    1．知道級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的定義、性質(zhì)。

    2．熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的各種判別法。（比較判別法、比式判別法、根式判別法、積分判別法等）

    3．熟練掌握條件收斂、絕對(duì)收斂及Leibniz、Abel、Dirichlet三大判別法。

    4．理解條件收斂、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的特殊性質(zhì)。

    （十三）函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

    1．深刻理解函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的ε-N定義。

    2．熟練掌握函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法。

    3．熟練掌握一致收斂函數(shù)列和一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)。

    （十四）冪級(jí)數(shù)

    1．掌握冪級(jí)數(shù)收斂域、收斂半徑以及和函數(shù)的求法，知道冪級(jí)數(shù)的若干性質(zhì)。

    2．熟練掌握函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開的方法。

    3．會(huì)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

    （十五）傅里葉級(jí)數(shù)

    1．熟記以周期的付里葉系數(shù)公式，會(huì)求函數(shù)的傅里葉展式。

    2．掌握余弦級(jí)數(shù)，正弦級(jí)數(shù)的求法。

    3．理解收斂性定理，掌握Bessel不等式、Lebesgue引理等幾個(gè)重要定理。

    4．知道Parseval等式并運(yùn)用其求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

    （十六）多元函數(shù)的極限與連續(xù)

    1．了解平面點(diǎn)集的若干概念、平面點(diǎn)集的完備性定理。

    2．掌握二元函數(shù)之二重極限、二次極限的定義和計(jì)算。

    3．掌握二元函數(shù)連續(xù)性及其性質(zhì)。

    （十七）多元函數(shù)微分學(xué)

    1．掌握全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念、了解其幾何性質(zhì)。

    2．會(huì)計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)和全微分，會(huì)計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)（尤其是二階偏導(dǎo)數(shù)）。

    3．熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t、理解一階全微分形式不變性。

    4．掌握二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、可微、可偏導(dǎo)之間的多角關(guān)系。

    5．知道二元函數(shù)中值定理與Taylor公式。

    6．熟練掌握多元函數(shù)極值、最值的求解方法，并會(huì)運(yùn)用于解決實(shí)際問題。

    7．了解方向?qū)?shù)與梯度及其幾何、物理意義。

    （十八）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

    1．理解隱函數(shù)（組）定理。

    2．會(huì)求隱函數(shù)（組）的微分。

    3．會(huì)求空間曲線的切線與法平面，會(huì)求空間曲面的切平面與法線。

    4．熟練掌握條件極值的Lagrange乘數(shù)法。

    （十九）含參量積分

    1．掌握含參量正常積分的定義及性質(zhì)。

    2．熟練掌握含參量反常積分一致收斂定義、判別法。

    3．熟練掌握一致收斂含參量反常積分的性質(zhì)（連續(xù)性、可導(dǎo)性、可積性）。

    4．掌握Euler積分并用于計(jì)算某些反常積分；掌握用積分號(hào)下求導(dǎo)數(shù)等方法計(jì)算某些積分和反常積分。

    （二十）曲線積分

    1．理解第一、二型曲線積分的概念及物理意義。

    2．熟練掌握兩型曲線積分的基本參數(shù)計(jì)算公式。

    3．熟練掌握格林公式。

    4．掌握第二型曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求全微分式的原函數(shù)。

    （二一）重積分

    1．知道二重積分、三重積分定義與性質(zhì)，理解分割、求和、取極限三部曲內(nèi)涵。

    2．熟練掌握二重積分、三重積分的直角坐標(biāo)計(jì)算---化為累次積分。

    3．熟練掌握二重積分、三重積分的變量替換。重點(diǎn)是極坐標(biāo)變換、柱坐標(biāo)變換球坐標(biāo)變換及廣義球坐標(biāo)變換。

    4．知道重積分幾何應(yīng)用，會(huì)求曲面面積、重心坐標(biāo)等。

    （二二）曲面積分

    1．理解第一、二型曲面積分的概念及物理意義；了解兩種曲面積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

    2．掌握兩型曲面積分的直角坐標(biāo)計(jì)算公式。

    3．熟練掌握Gauss公式和Stokes公式

    五、主要參考教材（參考書目）

    《數(shù)學(xué)分析》（第四版），華東師大數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社。

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