2021湖南師范大學(xué)高等數(shù)學(xué)研究生考試大綱 正文

　湖南師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱
考試科目代碼：                    考試科目名稱： 高等數(shù)學(xué)

一、考試內(nèi)容及要點(diǎn)
1、函數(shù)、極限、連續(xù)
（1）函數(shù)的概念及表示法
（2） 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性
（3）復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形、 初等函數(shù)的應(yīng)用
（4）數(shù)列極限與函數(shù)極限, 函數(shù)的左極限與右極限, 及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系
（5） 極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則、單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則,求極限的方法
   兩個(gè)重要極限 :
               
（6）無窮小、無窮大、無窮小量。
（7） 函數(shù)的連續(xù)性、左連續(xù)、右連續(xù)，函數(shù)間斷點(diǎn)及其類型
（8） 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性、極值、最大值和最小值定理、零點(diǎn)定理和介值定理   

2、一元函數(shù)微分學(xué)

（1） 導(dǎo)數(shù)和微分的概念、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系、平面曲線的切線和法線。
（2）導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算、 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、　復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)的求導(dǎo)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法。
（3）高階導(dǎo)數(shù)
（4） 微分中值定理：羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西定理，泰勒(Taylor)定理
（5）洛必達(dá)（L’Hospital）法則求極限
（6） 函數(shù)單調(diào)性的判別、 函數(shù)的極值、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線、函數(shù)的最大值與最小值、函數(shù)圖形的描繪。　
（7）弧微分、曲率的概念、曲率圓與曲率半徑的計(jì)算

3、一元函數(shù)積分學(xué)
原函數(shù)和不定積分的概念　不定積分的基本性質(zhì)　基本積分公式　定積分的概念和基本性質(zhì)　定積分中值定理　積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)　牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式　不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法　有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分　反常（廣義）積分　定積分的應(yīng)用
考試要求
（1）原函數(shù)、不定積分和定積分
（2）不定積分的基本公式、不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理、換元積分法與分部積分法。
（3）有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分．
（4）包含積分上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，牛頓-萊布尼茨公式．
（5）反常積分的概念及其計(jì)算．
（6）應(yīng)用定積分計(jì)算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等、以及函數(shù)的平均值．
4、向量代數(shù)和空間解析幾何
（1）空間直角坐標(biāo)系、向量的概念及其表示.
（2）向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），兩向量垂直、平行的條件.
（3）單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法.
（4）平面方程和直線方程及其求法.
（5）平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題.
（6）點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離.
（7）曲面方程和空間曲線方程
（8）常用二次曲面的方程及其圖形，簡單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程.
（9）空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，投影曲線的方程.
5、多元函數(shù)微分學(xué)
（1）多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義.
（2）二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念、以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).
（3）多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，全微分形式的不變性.
（4）方向?qū)?shù)與梯度及其計(jì)算方法.
（5）多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)
（6）隱函數(shù)存在定理，多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法.
（7）空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線及其求法
（8）二元函數(shù)的二階泰勒公式.
（9）多元函數(shù)極值和條件極值，多元函數(shù)極值存在的必要條件，二元函數(shù)極值存在的充分條件，二元函數(shù)極值的求法，條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，簡單多元函數(shù)的最大值和最小值.
6、多元函數(shù)積分學(xué)
（1）二重積分、三重積分的概念，重積分的性質(zhì)，二重積分的中值定理.
（2）二重積分與三重積分的計(jì)算。
（3）兩類曲線積分的概念，兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系.
（4）兩類曲線積分的計(jì)算方法.
（5）格林公式、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，二元函數(shù)全微分的原函數(shù)的求法
（6）兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，兩類曲面積分的計(jì)算，高斯公式與曲面積分，斯托克斯公式與曲線積分
（7）散度與旋度
（8）重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、、形心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等

7、常微分方程
（1）微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.
（2）變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法．
（3）齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程．
（4）降階法解微分方程：
（5）線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)．
（6）應(yīng)用微分方程解決一些簡單的問題．

8、線性代數(shù)
（1）行列式的性質(zhì)與計(jì)算．
（2）矩陣的概念，單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質(zhì)．
（3）矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì).
（5）逆矩陣的概念，逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣的概念，應(yīng)用伴隨矩陣求逆矩陣．
（6）矩陣的初等變換，初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)，矩陣的秩，應(yīng)用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣．
（7）分塊矩陣及其運(yùn)算．
（8）向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)，向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法． 
（9）向量組等價(jià)，矩陣的秩與其行(列)向量組的秩的關(guān)系.
（10）克萊姆法則及其應(yīng)用．
（11）非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及其通解的求法．
（12）應(yīng)用初等行變換求解線性方程組．
（13）矩陣的特征值、特征向量與矩陣的對角化、轉(zhuǎn)換矩陣。
9、無窮級數(shù)
（1）常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂和發(fā)散以及收斂級數(shù)的和，級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.
（2）幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.
（3）正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法.
（4）交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法.
（5）任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂、絕對收斂與收斂的關(guān)系.
（6）函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù).
（7）冪級數(shù)收斂半徑、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域
（8）冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分，冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)以及數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和.
（9）函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件.
（10）函數(shù)，，，及的麥克勞林（Maclaurin）展開式，函數(shù)的冪級數(shù)展開。

二、參考書目
同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 高等數(shù)學(xué)（第六版）. 高等教育出版社,
彭冨連主編. 高等數(shù)學(xué). 湖南師大出版社,
同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 線性代數(shù)（第五版）. 高等教育出版社, 
四川大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 高等數(shù)學(xué)（第三版）. 高等教育出版社,


 

湖南師范大學(xué)

本文來源：http://www.lyhuahuisp.com/hunanshifandaxue/cankaoshumu_415021.html