暨南大學601高等數學研究生考研大綱及參考書目 正文

暨南大學碩士研究生入學考試自命題科目
601 《高等數學》考試大綱

一、考試性質
暨南大學碩士研究生入學高等數學考試是為招收理學非數學專業(yè)碩士研究生而設置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數學素質，包括對高等數學各項內容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力?？荚噷ο鬄閰⒓尤珖T士研究生入學考試、并報考凝聚態(tài)物理、光學、生物物理學、環(huán)境科學（理
學）、生物醫(yī)學工程（理學）等專業(yè)的考生。
二、考試方式和考試時間
高等數學考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時間為 3 小時。
三、試卷結構
（一）微積分與線性代數所占比例
微積分約占總分的 120 分左右，線性代數約占總分的 30 分左右。
（二）試卷的結構
1、填空、選擇題：占總分的 50 分左右，內容為概念和基本計算，主要覆蓋本門課程的各部分知識點。
2、計算或解答題：占總分的 80 分左右，主要為各部分的重要計算題、應用題
3、證明題：占總分的 20 分左右。
四、考試內容和考試要求

（一）函數、極限、連續(xù)

考試內容
函數的概念及表示法 函數的定義域，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性 復合函數、反函數、分段函數和隱函數
數列極限與函數極限的概念 無窮小和無窮大的概念及其關系  無窮小的性質及無窮小的比較 極限的四則運算 極限存在的單調有界準則和夾逼準則 兩個重要極限：


lim
x?0

sin x ? 1
x

， lim ?1?
?

1 ?x
? ? e
?


函數連續(xù)的概念 函數間斷點的類型 初等函數的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數的
性質

考試要求
1.理解函數的概念，掌握函數的表示法； 理解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；掌握判斷函數這些性質的方法。
2.理解復合函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。會求給定函數的復合函數和反函數。
3.掌握基本初等函數的性質及其圖形。
4.理解極限的概念，以及函數極限存在與左、右極限之間的關系。
5.掌握極限的性質及四則運算法則，會運用它們進行一些基本的判斷和計

算。
6.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個重要極

限求極限的方法。

7.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小
求極限。
8.理解函數連續(xù)性的概念，會判別函數間斷點的類型。
9.掌握連續(xù)函數的運算性質和初等函數的連續(xù)性，熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并會應用這些性質。
（二）一元函數微分學
考試內容
導數的概念及幾何意義 函數的可導性與連續(xù)性之間的關系 平面曲線的切線和法線 基本初等函數的導數 導數的四則運算 復合函數、反函數、隱函數的導數的求法 參數方程所確定的函數的求導方法 高階導數的概念與求法 微分的概念和微分的幾何意義 函數可微與可導的關系 微分的運算法則及函數微分的求法 一階微分形式的不變性 微分在近似計算中的應用 微分中值定理  洛必達（L’Hospital）法則 泰勒(Taylor)公式 函數的極值 函數最大值和最小值 函數單調性 函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線
考試要求
1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意
義，注意函數的可導性與連續(xù)性之間的關系。
2.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的求導公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

3.了解高階導數的概念，會求簡單函數的n 階導數；會求分段函數的一 階、二階導數；會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階、二階導數；會求反函數的導數。
4.理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。
5.理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其簡單應用。
6.會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直
和斜漸近線，會描繪函數的圖形。
7.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。
（三）一元函數積分學
考試內容
原函數和不定積分的概念 不定積分的基本性質 基本積分公式 定積分的概念和基本性質 定積分中值定理 變上限定積分定義的函數及其導數Newton－Leibniz 公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分 廣義積分（無窮限積分、瑕積分） 定積分的應用（計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、截面面積為已知的立體體積等）
考試要求
1.理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。

2.熟練掌握不定積分的基本公式，熟練掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理。掌握 Newton－Leibniz 公式。熟練掌握不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。
3.會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。
4.理解變上限定積分定義的函數，會求它的導數。
5.理解廣義積分（無窮限積分、瑕積分）的概念，掌握無窮限積分、瑕積分的收斂性判別法，會計算一些簡單的廣義積分。
6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、截面面積為已知的立體體積、功、引 力、壓力）及函數的平均值。
（四）向量代數和空間解析幾何

考試內容
向量的概念 向量的線性運算 向量的數量積、向量積和混合積 兩向量垂直、平行的條件 兩向量的夾角 向量的坐標表達式及其運算 單位向量  方向數與方向余弦 曲面方程和空間曲線方程的概念 平面方程、直線方程 平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件 點到平面和點到直線的距離 球面 母線平行于坐標軸的柱面 旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程常用的二次曲面方程及其圖形 空間曲線的參數方程和一般方程 空間曲線在坐標面上的投影曲線方程
考試要求

1.熟悉空間直角坐標系，理解向量及其模的概念；掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積)，掌握兩向量垂直、平行的條件。
2.理解向量在軸上的投影，了解投影定理及投影的運算。理解方向數與方
向余弦、向量的坐標表達式，會用坐標表達式進行向量的運算。
3.熟悉平面方程和空間直線方程的各種形式，熟練掌握平面方程和空間直
線方程的求法。
4.會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。
5.會求空間兩點間的距離、點到直線的距離以及點到平面的距離。
6.了解空間曲線方程和曲面方程的概念。
7.了解空間曲線的參數方程和一般方程。了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。
8.了解常用二次曲面的方程、圖形及其截痕，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。
（五）多元函數微分學

考試內容
多元函數的概念 二元函數的幾何意義 二元函數的極限和連續(xù) 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數的性質 多元函數偏導數和全微分的概念及求法 多元復合函數、隱函數的求導法 高階偏導數的求法 空間曲線的切線和法平面 曲面的切平面和法線 方向導數和梯度 多元函數的極值和條件極值 拉格朗日乘數法  多元函數的最大值、最小值及其簡單應用

考試要求
1.理解二元函數的極限與連續(xù)性的概念及基本運算性質，了解二元函數累次極限和極限的關系 會判斷二元函數在已知點處極限的存在性和連續(xù)性 了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質。
2.理解多元函數偏導數和全微分的概念 了解二元函數可微、偏導數存在及連續(xù)的關系，會求偏導數和全微分，了解二元函數兩個混合偏導數相等的條件了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。
3.熟練掌握多元復合函數偏導數的求法。
4.熟練掌握隱函數的求導法則。
5.理解方向導數與梯度的概念并掌握其計算方法。
6.理解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。
7.理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值、最小值，并會解決一些簡單的應用問題。
（六）多元函數積分學

考試內容
二重積分、三重積分的概念及性質 二重積分與三重積分的計算和應用 兩類曲線積分的概念、性質及計算 格林（Green）公式 平面曲線積分與路徑無關的條件 已知全微分求原函數 兩類曲面積分的概念、性質及計算 高斯
（Gauss）公式

考試要求
1.理解二重積分、三重積分的概念，掌握重積分的性質。
2.熟練掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分
（直角坐標、柱面坐標、球面坐標），掌握二重積分的換元法。
3.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系。熟練掌握計算兩類曲線積分的方法。
4.熟練掌握格林公式，會利用它求曲線積分。掌握平面曲線積分與路徑無
關的條件。會求全微分的原函數。
5.理解兩類曲面積分的概念，了解兩類曲面積分的性質及兩類曲面積分的關系。熟練掌握計算兩類曲面積分的方法。
6.掌握高斯公式，會利用它們計算曲面積分。
7.會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量（如曲面的面積、物體
的體積等）。

（七）無窮級數

考試內容
常數項級數及其收斂與發(fā)散的概念 收斂級數的和的概念 級數的基本性質與收斂的必要條件 幾何級數與 p  級數及其收斂性  正項級數收斂性的判別法交錯級數與萊布尼茨定理 任意項級數的絕對收斂與條件收斂 函數項級數的收斂域、和函數的概念 冪級數及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質 簡單冪級數的和函數的求法 泰勒級數 初等函數的冪級數展開式 函數的傅里葉（Fourier）系數與傅里葉級數 函數在
[?l, l] 上的傅里葉級數 函數在[0, l ] 上的正弦級數和余弦級數。

考試要求
1.理解常數項級數的收斂、發(fā)散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件；掌握幾何級數與 p 級數的收斂與發(fā)散情況。
2.熟練掌握正項級數收斂性的各種判別法。
3.熟練掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。
4.理解任意項級數的絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收
斂的關系。
5.了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。
6.理解冪級數的收斂域、收斂半徑的概念，并掌握冪級數的收斂半徑及收
斂域的求法。
7.了解冪級數在其收斂區(qū)間內的一些基本性質（和函數的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區(qū)間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。
8.了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。
9.掌握一些常見函數如e x , sin x, cos x, ln(1 ? x), (1 ? x)? 等的麥克勞林展開
式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。
10.了解傅里葉級數的概念和狄利克雷定理，會將定義在[?l, l] 上的函數展

開為傅里葉級數，會將定義在[0, l ] 上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會將

周期為2l 的函數展開為傅里葉級數。

（八）常微分方程

考試內容

常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用簡單的變量代換求解的某些微分方程 可降價的高階微分方程 線性微分方程解的性質及解的結構定理二階常系數齊次線性微分方程  二階常系數非齊次線性微分方程  微分方程的簡單應用
考試要求
1.掌握微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。
2.熟練掌握變量可分離的微分方程的解法，熟練掌握解一階線性微分方程的常數變易法。
3.會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換求
解某些微分方程。


4.會用降階法解三類型方程： y (n ) ?

f (x), y ? ?

f (x, y?), y ? ?

f ( y, y?) 。


5.理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。了解解二階非齊次線性微分方程的常數變易法。
6.掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。
7.會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數、以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。
8.了解微分方程的冪級數解法。
9.會用微分方程解決一些簡單的應用問題。
（九）線性代數

考試內容
行列式的概念和基本性質  行列式按行（列）展開定理矩陣的概念   矩陣的線性運算  矩陣的乘法   方陣的冪   方陣乘積的行列式   矩陣的轉置   逆矩陣的概念和性質  矩陣可逆的充分必要條件   伴隨矩陣   矩陣的初等變換   初等矩陣  矩陣的秩  矩陣的等價 分塊矩陣及其運算向量的線性組合和線性表示向量組的線性相關與線性無關  向量組的極大線性無關組   等價向量組   向量組的秩  向量組的秩與矩陣的秩之間的關系   向量的內積   線性無關向量組的的正交規(guī)范化方法  線性方程組的克萊姆（Cramer）法則  齊次線性方程組有非零解的充分必要條件  非齊次線性方程組有解的充分必要條件   線性方程組解的性質和解的結構  齊次線性方程組的基礎解系和通解   非齊次線性方程組的通解 二次型及其矩陣表示 合同變換與合同矩陣 二次型的秩 慣性定理 二次型的標準形和規(guī)范形 用正交變換和配方法化二次型為標準形 二次型及其矩陣的正定性 矩陣的特征值和特征向量的概念、性質 相似矩陣的概念及性質 矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣 實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣
考試要求
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質。
2.會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式。
3.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣和正交矩陣以及它們的性質。
4.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質。

5.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件．理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。
6.了解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解
矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
7.了解分塊矩陣及其運算。
8.理解向量的線性組合與線性表示的概念；理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法。
9.了解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。
10.了解向量組等價的概念，了解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩的關
系。
11.了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規(guī)范化的施密特
（Schmidt）方法。
12.會用克萊姆法則。
13.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
14.理解齊次線性方程組的基礎解系及通解的概念，掌握齊次線性方程組的
基礎解系和通解的求法。
15.理解非齊次線性方程組的解的結構及通解的概念。
16.會用初等行變換求解線性方程組。
17.理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，會求矩陣特征值和特征向量。

18.理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，會將矩陣化為相似對角矩陣。
19.理解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質。
20.了解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念。
21.了解二次型的秩的概念，了解二次型的標準形、規(guī)范形等概念，了解慣
性定理，會用正交變換和配方法化二次型為標準形。
22.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。
五、主要參考文獻
1.《高等數學》（上、下冊），同濟大學應用數學系主編，高等教育出版社，第五版，2002。
2.《線性代數》，同濟大學應用數學系編，高等教育出版社，第四版，
2003。

暨南大學

本文來源：http://www.lyhuahuisp.com/jinandaxue/cankaoshu_457230.html