2022中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)分析研究生考研大綱及參考書目 正文

碩士研究生入學(xué)考試《數(shù)學(xué)分析》考試大綱
一、考試性質(zhì)
　　數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的基礎(chǔ)課程之一，是數(shù)學(xué)專業(yè)研究生入學(xué)考試的必考課程。本考試大綱適用于中國(guó)地質(zhì)大學(xué)研究生院數(shù)學(xué)系碩士研究生入學(xué)《數(shù)學(xué)分析》考試。它的主要目的是測(cè)試考生對(duì)數(shù)學(xué)分析各項(xiàng)內(nèi)容的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題的能力。
二、考試的基本要求
　　要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力。
三、考試方法和考試時(shí)間
　　數(shù)學(xué)分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。
四、考試內(nèi)容和考試要求
　　1、極限和函數(shù)的連續(xù)性
　　考試主要內(nèi)容
　　映射與函數(shù)；數(shù)列的極限、函數(shù)的極限；連續(xù)函數(shù)、函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性；中的點(diǎn)集、實(shí)數(shù)系的連續(xù)性；函數(shù)和連續(xù)函數(shù)的各種性質(zhì)。
　　考試要求
　?。?）熟練掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；理解無(wú)窮小量的概念及基本性質(zhì)。
　　（2）掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用兩面夾原理和兩個(gè)特殊極限。
　?。?）熟練掌握實(shí)數(shù)系的基本定理：區(qū)間套定理，確界存在定理，單調(diào)有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆蓋定理，Cauchy收斂準(zhǔn)則；并理解相互關(guān)系。
　　（4）熟練掌握函數(shù)連續(xù)性的概念及相關(guān)的不連續(xù)點(diǎn)類型。能夠運(yùn)用函數(shù)連續(xù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)以及相對(duì)應(yīng)的；并理解兩者的相互關(guān)系。
　　（5）熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理、最值定理、介值定理；了解Contor定理。
　　2、一元函數(shù)微分學(xué)
考試主要內(nèi)容
微分的概念、導(dǎo)數(shù)的概念、微分和導(dǎo)數(shù)的意義；求導(dǎo)運(yùn)算；微分運(yùn)算；微分中值定理；洛必達(dá)法則、泰勒展式公式；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
考試要求
（1）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念及其相互關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義，理解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。
（2）熟練掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則，包括高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
（3）熟練掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。
（4）能夠用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，最值和凸凹性。
（5）掌握用洛必達(dá)法則求不定式極限的方法。
3、一元函數(shù)積分學(xué)
考試主要內(nèi)容
定積分的概念、性質(zhì)和微積分基本定理；不定積分和定積分的計(jì)算；定積分的應(yīng)用；廣義積分的概念和廣義積分收斂的判別法。
考試要求
（1）理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，會(huì)求初等函數(shù)、有理函數(shù)和三角有理函數(shù)的積分。
（2）掌握定積分的概念，包括Darboux和，上、下積分及可積條件與可積函數(shù)類。
（3）掌握定積分的性質(zhì)，熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理。
（4）能用定積分表達(dá)和計(jì)算如下幾何量與物理量：
平面圖形的面積，平面曲線的弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積，平行截面面積已知的立體體積，變力做功和物體的質(zhì)量與質(zhì)心。
（5）理解廣義積分的概念。熟練掌握判斷廣義積分收斂的比較判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法；其中包括積分第二中值定理。
4、無(wú)窮級(jí)數(shù)
考試主要內(nèi)容
數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的判別法；級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂；函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂和一致收斂及其性質(zhì)、收斂性的判別；冪級(jí)數(shù)及其性質(zhì)、泰勒級(jí)數(shù)和泰勒展開。
考試要求
（1）理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的概念，掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。
（2）熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的必要條件，比較判別法，Cauchy判別法，D‘Alembert判別法與積分判別法。
（3）熟練掌握任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其相互關(guān)系。熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibnitz判別法。掌握絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。
（4）熟練掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Weierstrass判別法。Abel判別法、Cauchy判別法和Dirichlet判別法。
（5）掌握冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑的概念，包括Cauchy-Hadamard定理和Abel第一定理。
（6）熟練掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)。能夠?qū)⒑瘮?shù)展開為冪級(jí)數(shù)。理解余項(xiàng)公示。
（7）了解Fourier級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)。
5、多元函數(shù)微分學(xué)與積分學(xué)
考試主要內(nèi)容
多元函數(shù)的極限與連續(xù)、全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念、重積分的概念及其性質(zhì)、重積分的計(jì)算；曲線積分和曲面積分；反常積分的定義和判別。
考試要求
（1）理解多元函數(shù)極限與連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分。
（2）掌握隱函數(shù)存在定理。
（3）會(huì)求多元函數(shù)極值和無(wú)條件極值，了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用。
（4）掌握重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計(jì)算。
（5）熟練掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其應(yīng)用。
6、含參變量積分
考試主要內(nèi)容
含參變量積分的概念、性質(zhì)。
考試要求
（1）了解含參變量常義積分的概念與性質(zhì)。
（2）熟練掌握變上限積分。

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