2021中國(guó)海洋大學(xué)617數(shù)學(xué)分析研究生考試大綱 正文

617 數(shù)學(xué)分析

一、考試性質(zhì)
數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)碩士研究生入學(xué)初試考試的專業(yè)基礎(chǔ)課程。
二、考察目標(biāo)
根據(jù)教育部頒發(fā)的《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)大綱的基本要求，力求反映與數(shù)學(xué)相關(guān)的碩士學(xué)位的特點(diǎn)，客觀、準(zhǔn)確、真實(shí)地測(cè)評(píng)考生對(duì)數(shù)學(xué)分析的掌握和運(yùn)用情況，為國(guó)家培養(yǎng)具有良好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)素質(zhì)和應(yīng)用能力、具有較強(qiáng)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題能力的高層次、復(fù)合型的數(shù)學(xué)專業(yè)人才。
測(cè)試考生對(duì)一元函數(shù)微積分學(xué)、多元函數(shù)微積分學(xué)、級(jí)數(shù)理論等知識(shí)掌握的程度和運(yùn)用能力。要求考生系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論；掌握數(shù)學(xué)分析的基本論證方法和常用結(jié)論；具備較熟練的演算技能和較強(qiáng)的邏輯推理能力及初步的應(yīng)用能力。
三、考試形式
閉卷考試，滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。
試卷結(jié)構(gòu)：一元函數(shù)微積分學(xué)、多元函數(shù)微積分學(xué)、級(jí)數(shù)理論及其他（隱函數(shù)理論、場(chǎng)論等）考核的比例均約為1/3，分值均約為50分。
四、考試內(nèi)容
(一) 變量與函數(shù)
1、實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)的概念、性質(zhì)，區(qū)間，鄰域；
2、函數(shù)：變量，函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，幾何特征（有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)、周期函數(shù)），運(yùn)算（四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)），基本初等函數(shù)，初等函數(shù)。
(二) 極限與連續(xù)
1、數(shù)列極限：定義（e-N語(yǔ)言），性質(zhì)（唯一性，有界性，保號(hào)性，不等式性、迫斂性），數(shù)列極限的運(yùn)算，數(shù)列極限存在的條件（單調(diào)有界準(zhǔn)則（重要的數(shù)列極限），迫斂性法則，柯西收斂準(zhǔn)則）；
2、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量：定義，性質(zhì)，運(yùn)算，階的比較；
3、函數(shù)極限：概念（在一點(diǎn)的極限，單側(cè)極限，在無(wú)限遠(yuǎn)處的極限，函數(shù)值趨于無(wú)窮大的情形（e-d, e-X語(yǔ)言））；性質(zhì)（唯一性，局部有界性，局部保號(hào)性，不等式性，迫斂性）；函數(shù)極限存在的條件（迫斂性法則，歸結(jié)原則（Heine定理），柯西收斂準(zhǔn)則）；運(yùn)算；
4、兩個(gè)常用不等式和兩個(gè)重要函數(shù)極限（，）；
5、連續(xù)函數(shù)：概念（在一點(diǎn)連續(xù)，單側(cè)連續(xù)，在區(qū)間連續(xù)），不連續(xù)點(diǎn)及其分類；連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算（局部性質(zhì)及運(yùn)算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值性、零點(diǎn)存在性，介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性）；初等函數(shù)的連續(xù)性。
（三）實(shí)數(shù)的基本定理及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明
1、概念：子列，上、下確界，區(qū)間套，區(qū)間覆蓋；
2、關(guān)于實(shí)數(shù)的基本定理：六個(gè)等價(jià)定理（確界存在定理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、致密性定理、柯西收斂原理、有限覆蓋定理）；
3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，最值性定理的證明，零點(diǎn)存在定理的證明，反函數(shù)連續(xù)性定理的證明；一致連續(xù)性定理的證明。
（四）導(dǎo)數(shù)與微分
1、導(dǎo)數(shù)：來(lái)源背景，定義（在一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)），導(dǎo)數(shù)的幾何意義，簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（常數(shù)、正弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)），求導(dǎo)法則（四則運(yùn)算，反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導(dǎo)法則）；
2、微分：定義，運(yùn)算法則，簡(jiǎn)單應(yīng)用；
3、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分：定義，運(yùn)算法則。
（五）微分學(xué)基本定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1、中值定理：費(fèi)馬（Fermat）定理，中值定理（羅爾（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西(Cauchy)中值定理）；
2、泰勒公式及應(yīng)用（近似計(jì)算，誤差估計(jì)）；
3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，函數(shù)凸性與拐點(diǎn)，平面曲線的曲率，七種待定型與洛必達(dá)（L’Hospital）法則；
（六）不定積分
1、不定積分:概念，基本公式，運(yùn)算法則，計(jì)算（換元積分法、分部積分法、有理函數(shù)積分法，其他類型積分）。
（七）定積分
1、定積分：來(lái)源背景，概念，函數(shù)可積的必要條件，達(dá)布上、下和，定積分存在的充要條件，可積函數(shù)類（閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，分段連續(xù)函數(shù)，單調(diào)有界函數(shù))，定積分的性質(zhì)，定積分的計(jì)算（基本公式、換元公式、分部積分公式）；
2、變上限定積分：定義，性質(zhì)。
（八）定積分的應(yīng)用
1、定積分在幾何上的應(yīng)用：平面圖形的面積，曲線的弧長(zhǎng)，截面已知的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積，旋轉(zhuǎn)曲面的面積；
2、定積分在物理上的應(yīng)用：功、壓力、引力；
3、微元法。
（九）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
1、預(yù)備知識(shí)：上、下極限；
2、級(jí)數(shù)的斂散性：無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散等概念，柯西收斂原理，收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；
3、正項(xiàng)級(jí)數(shù)：定義，斂散判別（基本定理，比較判別法，柯西判別法，達(dá)朗貝爾判別法，柯西積分判別法）；
4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲判別法，阿貝爾（Abel）判別法與狄利克雷（Dirichlet）判別法。
（十）反常積分
1、反常積分：無(wú)窮限的反常積分的概念、性質(zhì)，斂散判別法（柯西收斂原理，比較判別法，狄利克雷判別法、阿貝爾判別法）；無(wú)界函數(shù)的反常積分的概念、性質(zhì)，斂散判別法。
（十一）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)
1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)以及函數(shù)列的概念，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)以及函數(shù)列一致收斂的概念，一致收斂判別法（柯西收斂原理，優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，狄利克雷判別法與阿貝爾判別法）；一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）；
2、冪級(jí)數(shù)：阿貝爾第一、第二定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性），泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)與幾種常見(jiàn)的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。
（十二）傅里葉級(jí)數(shù)
1、傅里葉級(jí)數(shù)：引進(jìn)，三角函數(shù)系的正性, 傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)，以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，以（）為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，奇偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理的證明。
（十三）多元函數(shù)的極限與連續(xù)
1、平面點(diǎn)集：鄰域，點(diǎn)列的極限，開(kāi)集，閉集，區(qū)域，平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理；
2、二元函數(shù)：概念，二重極限和二次極限，連續(xù)性（連續(xù)的概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)）。
（十四）偏導(dǎo)數(shù)和全微分
1、偏導(dǎo)數(shù)和全微分：偏導(dǎo)數(shù)的概念，幾何意義；全微分的概念；二元函數(shù)的連續(xù)性、可微性，偏導(dǎo)存在的關(guān)系；復(fù)合函數(shù)微分法（鏈?zhǔn)椒▌t）；由方程組所確定的函數(shù)（隱函數(shù)）的求導(dǎo)法；
2、偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；方向?qū)?shù)與梯度；泰勒公式。
（十五）極值和條件極值
1、極值：概念，判別（必要條件、充分條件），應(yīng)用，最小二乘法；
2、條件極值：概念，拉格朗日乘數(shù)法，應(yīng)用。
（十六）隱函數(shù)存在定理
1、隱函數(shù)：概念，存在定理；
2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，雅可比行列式。
（十七）含參變量積分與含參變量廣義積分
1、含參變量的正常積分：定義，性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性）；
2、含參變量的反常積分：定義，一致收斂的定義，一致收斂積分的判別法（柯西收斂原理、魏爾斯特拉斯判別法、阿貝爾判別法、狄立克雷判別法），一致收斂積分的性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性）；
3、歐拉積分：函數(shù)和函數(shù)的定義、性質(zhì)。
（十八）重積分的計(jì)算及應(yīng)用
1、二重積分：二重積分的概念，性質(zhì)，計(jì)算（化二重積分為二次積分，換元法（極坐標(biāo)變換，一般變換）；
2、三重積分：計(jì)算（化三重積分為三次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標(biāo)變換，球面坐標(biāo)變換））；
3、重積分的應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的質(zhì)心，矩，引力，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；
（十九）曲線積分與曲面積分
1、曲線積分：第一型曲線積分及第二型曲線積分的來(lái)源背景、概念、性質(zhì)、應(yīng)用與計(jì)算，兩類曲線積分的聯(lián)系； 
2、曲面積分：第一型曲面積分及第二型曲面積分的來(lái)源背景、概念、性質(zhì)、應(yīng)用與計(jì)算，兩類曲面積分的聯(lián)系。
（二十）各種積分間的聯(lián)系和場(chǎng)論初步
1、各種積分間的聯(lián)系公式：格林（Green）公式，高斯（Gauss）公式，斯托克斯(Stokes)公式；
2、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)性：四個(gè)等價(jià)條件。
3、場(chǎng)論初步：場(chǎng)的概念，梯度，散度和旋度，保守場(chǎng)，哈密頓算子（算子）。
五、是否需使用計(jì)算器
否。

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