2021中國海洋大學(xué)常微分方程研究生考試大綱 正文

③常微分方程
一、考試性質(zhì)
常微分方程是數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試復(fù)試筆試科目。
二、考察目標(biāo)
要求考生能正確理解常微分方程的基本概念，掌握一些基本理論和各種類型方程求解的主要方法，具有一定的解題能力。同時，要求考生具有分析與解決問題的能力。
三、考試形式
閉卷考試，本部分滿分為30分。
試卷結(jié)構(gòu)：客觀題與計算題約占50%； 綜合題與證明題約占50%
四、考試內(nèi)容
考試內(nèi)容：初等積分法；基本定理；一階線性微分方程組；n 階線性微分方程；定性理論與穩(wěn)定性理論簡介；一階偏微分方程初步。
1．初等積分法部分：要求考生能用初等（積分）解法求解常微分方程的可積類型，掌握各種類型的解法，具有判斷一個給定方程的類型和正確求解的能力。重點(diǎn)是求解方法，難點(diǎn)是識別方程的類型以及熟練掌握求解方法。
2．基本定理部分包括解的存在唯一性定理，解的延展定理，解對初值的連續(xù)依賴性定理和解的可微性定理，構(gòu)成了常微分方程主要理論部分。解的存在唯一性定理表明，若右端函數(shù)滿足連續(xù)和利布希茲條件，則保證方程的解存在性與唯一性。它是常微分方程理論中最基本的定理，有其重大的理論意義。另一方面，由于能求得精確解的方程不多，所以該定理給出的求近似解法就具有重要的實(shí)際意義。解的延拓定理及解對初值的連續(xù)依賴性與可微性定理揭示了微分方程的重要性質(zhì)。要求考生必需理解上述定理的條件和結(jié)論，掌握證明方法，能運(yùn)用定理證明有關(guān)問題。重點(diǎn)是證明的思路和方法，特別是逐次逼近法，難點(diǎn)是貫穿定理證明過程的利布希茲條件運(yùn)用和證明過程中不等式技巧的把握。
3．一階線性微分方程組是常微分方程理論中的重要部分，無論從實(shí)用的角度或從理論的角度來說，一階線性微分方程組所提供的方法和結(jié)果都是非常重要的。要求考生：1. 掌握線性微分方程組的一般理論，把握解空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)；2.基解矩陣求法。一般齊次線性微分方程組的基解矩陣是難以通過積分求得，但當(dāng)系數(shù)矩陣是常系數(shù)矩陣時，可以通過代數(shù)方法（Jordan標(biāo)準(zhǔn)型、矩陣指數(shù)）求出基解矩陣。3.重點(diǎn)掌握一階線性微分方程組的解空間結(jié)構(gòu)和常系數(shù)線性微分方程組的解法，難點(diǎn)是證明一階齊次常微分方程組的解空間是n 維線性空間和一階常系數(shù)齊次或非齊次微分方程組的求解。
4．n 階線性微分方程是值得重視的方程，這不僅僅因?yàn)閚階線性微分方程的一般理論已被研究的十分清楚，而且它是研究非線性微分方程的基礎(chǔ)，它在物理、力學(xué)和工程技術(shù)中也有廣泛的應(yīng)用。要求考生重點(diǎn)掌握n階線性微分方程的基本理論和常系數(shù)n階線性微分方程的解法，對于高階方程的降階問題和二階線性方程的冪級數(shù)解法作簡單了解。熟悉Laplace變換是求解n階常系數(shù)線性微分方程初值問題的方法。把握n 階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系，能夠?qū)⒁浑A線性微分方程組的有關(guān)結(jié)果推廣到n 階線性微分方程，以統(tǒng)一的觀點(diǎn)理解這兩部分的內(nèi)容。
5．定性理論與穩(wěn)定性理論簡介主要介紹定性理論和穩(wěn)定性理論，定性理論產(chǎn)生與發(fā)展與生產(chǎn)實(shí)踐和物理、力學(xué)以及工程技術(shù)問題緊密聯(lián)系，它主要研究軌線在相平面或相空間的分布以及極限環(huán)或周期軌的穩(wěn)定性和不穩(wěn)性等問題。穩(wěn)定性理論研究平衡態(tài)的穩(wěn)定性問題，主要研究方法是李雅普諾夫第一方法和第二方法。在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中，無論是定性理論還是穩(wěn)定性理論都有著極其廣泛的應(yīng)用。要求學(xué)生對定性理論和穩(wěn)定性理論有所了解，能夠用李雅普諾夫第二方法判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題。
    6.一階偏微分方程部分：只要考生對一階偏微分方程的理論和方法有所了解，會求解簡單的一階線性齊次偏微分方程和一階擬線性非齊次偏微分方程問題。
五、是否需使用計算器
否。

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